command⌘ Rを押しても、他の組み合わせで押しても、Mac O Sが立ち上がりません。どうしたら下取り準備できますか？

電源を入れて、自分の名前でログイン後に、command⌘Rを押し続ける、という流れで間違っていないでしょうか？

全く違います。

• 現在の OS のバージョンが、macOS Sierra（10.12.4）以降の場合は、電源を入れて直ぐに「shift」+「option」+「command」+「R」キー を押し続けます。
• 現在の OS のバージョンが、macOS Sierra（10.12.3）以前の場合は、電源を入れて直ぐに「option」+「command」+「R」キー を押し続けます。

※ Mac にプリインストールされていたバージョン、またはそのバージョンに一番近い、現在も利用可能なバージョンがインストールされます。

具体的な手順は、操作を行う前に下記リンクを参照 して置いて下さい。

Mac を売却、譲渡、下取りに出す前にやっておくべきこと - Apple サポート

• Mac のディスクを消去する方法 - Apple サポート
• macOS 復元から macOS を再インストールする方法 - Apple サポート

comannd + r は起動時に押してます。ログインしてからではありません。

起動時にcommand + rとしてればmacosユーティリティが立ち上がります。macosユーティリティが立ち上がったら、そのディスクユーティリティで内蔵hdd/ssdの消去をします。このときはディスクユーティリティの表示をすべてのデバイスを表示にしないとディスク本体が表示されませんので要注意です。

失礼致します。

MacBook Air のモデル は何でしょうか？　また、通常の起動 は可能なのでしょうか？

MacBook Air（Late 2010）以前のモデルだと、インストール/リストア用 DVD が付属 していたはずですが。

そもそも、今まで普通に起動して使えていたのでしょうか？

>電源を入れて、自分の名前でログイン後に、command⌘Rを押し続ける、という流れで間違っていないでしょうか？

間違ってます。

電源投入直後（システム起動前)にcommand-Rを押し続けます。