機種変更後、メールができない

メールアカウントが引き継がれてないのかもしれませんね。

iPhone、iPad、iPod touch でメールアカウントを追加する

こちらの方法でアカウント追加を試されてみてはいかがでしょうか？

キャリアメールならiPhoneの設定からではなく、キャリアのサイトから設定した方が簡単かと思われます。

＊　一部編集いたしました。 Apple Inc.

キャリアメールはクイックスタートによる複製？では動作しません。

残骸がプロファイルにあったら消してキャリアのサイトからメール設定をやり直してください。

それ以外のメールについても多くの場合再認証(ログイン)などの画面がでます。