Bluetoothキーボードが表示されず使用できない

それなら、iMac内蔵のBluetoothユニットの故障の可能性を考えて、Apple Diagnosticsを実行してみてください。

Apple Diagnostics を使って Mac をテストする

https://support.apple.com/ja-jp/HT202731

これでiMac側に異常がなく、キーボードだけを認識せず、Bluetoothマウス等は認識するなら、キーボードの故障。

異常が検出されたり、キーボードを含めた全てのBluetooth機器を認識しないなら、Apple Diagnosticsで検出できない故障 or インストールされているアプリの問題になるので、iMacをセーフモードで起動した状態で、正常に動作するかどうか確認。

Macをセーフモードで起動する

https://support.apple.com/ja-jp/guide/mac-help/mh21245/mac

セーフモードで正常に動作するなら、アプリ等のソフトウェアの問題。

セーフモードでもダメなら、Appleのサポートと相談の上、修理依頼。

ということなら、キーボード自体は動くわけですから、

PRAM(NVRAM)のリセットとSMCリセットを試す。

Mac で NVRAM または PRAM をリセットする

https://support.apple.com/ja-jp/HT204063

Mac の SMC をリセットする方法

https://support.apple.com/ja-jp/HT201295

それでもダメなら、Bluetoothモジュールのリセットを試してみる。

https://gori.me/mac/mac-tips/118467

iMacとキーボードを、キーボード付属の充電ケーブルで繋ぐと、有線のキーボードとして使用出来るようになりますが、その方法では認識しますか？

Bluetoothキーボードのメーカー、型番は？

iMacの年式は？

macOSのバージョンは？