OSのソフトウェア・アップデート時のパスワード認証が失敗する。

システムのどこかがおかしいのでしょうから、バックアップを用意してから、macosをクリーン再インストールするしかないです。

クリーン再インストール後、バックアップを戻せば、アプリ、設定、データは前の環境に戻ります。パスワードが認識されないというのはシステムの問題でしょうから、クリーン再インストールでシステムのファイルが全部まっさらになりますので解決できます。

また。これによって、システムも最新（11.5.2）になります。

macOS を再インストールする方法 - Appleサポート

> Timemachineからの復元だと設定なども含めて復元されるので、同じ現象になる

そういう可能性はないとは言いませんが、多分、非常に小さいです。

timemachineから移行アシスタントで移行する場合には、システムに関するもの（macOSとして配布されてるもの）はすべてクリーンなものになります。この段階で多分おかしな振る舞いはなくせます。こういうおかしな振る舞いは大抵設定の問題というよりは、システムのファイルどれかがおかしくなってるためのことの方が多いと思います（macOSのシステムファイルは数十万個以上あります）。なので、システムのファイルを正常なものに戻してからbackupを戻しますので、それで再度おかしくなる可能性は小さいです。

それと、おっしゃる不具合は11.2の不具合かもしれないと思います。最新にすれば11.5.2になりますから、その辺は治ってる可能性も高いと思います。

Mac本体のパスワードと、Apple IDのパスワードが違うのでは？

それなら、お書きの状態になってもおかしくありませんが…。

まだ解決してないなら、初期化しちゃう方が遥かにサクッと解決しますよ。

timemachineが使えないってどういう意味ですか？

timemachineはいつでも使えますよ。今の場合は、macosをクリーン再インストールしてからtimemachineのバックアップから移行することになりますけど。いずれにしろ、big surのtimemachineではその方法しか使えません。

とりあえず試してみては？

もしくは、MacAppStoreから一旦ログアウトしてから、Macを再起動、再度、AppStoreにログインして、それからソフトウェアアップデートを行なってみる。

クリーンインストールとか macOS の起動可能なインストーラ（で上書きインストールする）とかの他にコマンド（を実行して Mac を再起動）でどうにかするという話もあるようです（がやっちゃっていいのというか）。

Cannot update from Big Sur 11.1 to 11.2 - Apple Community

その Mac はどういう環境で使用しているのでしょうか。

Software Update not recognizing Admin Pas… - Apple Community