支払い方法の編集がグレーでタップ出来ません

うーん、小さなバグぐらいは、iOSのアップデートで直るみたいです、バグが深いところにあると ワイヤレスでのアップデートは修正できず、PC経由でのアップデートが確実だったかもしれません。

iPhoneを強制再起動するか、

iPhoneを強制的に再起動する - Apple サポート (日本)

こちらのサポート記事の青いリンクから 変更できるか確認してみてください。

Apple ID のお支払い方法を変更・追加・削除する

強制再起動、リンク先青ボタンからも変更できない場合は、設定のリセットが必要になると思いますが、まずは上記ご確認ください。

iOSはダウンロードしただけで、アップデートが済んでいない、ということはないでしょうか…？

設定＞一般＞情報＞システムバージョン は 15.2.1になっていますか。

やすどんさんのご提案に従ってもできない場合は、iPhoneから

設定＞一般＞リセット＞すべての設定をリセット

をしてみてください。

追記)一度で解消しない場合は、バックグラウンドで立ち上がっているAppを全て終了させ、強制再起動後に再度すべての設定のリセットをしてみてください。

ご参考:

iPhoneの設定をデフォルトに戻す

＊　一部編集いたしました。 Apple Inc.

編集できない支払い方法

を具体的に教えてください。

新しいカードを追加して 削除もできないのでしょうか。

やすどんさんがお書きのとおりですが、

iPhoneの設定をデフォルトに戻す

でも直らないことがあります。その手順は最終手段の２歩手前ぐらいで、基本的には

iOSのアップデート（可能であればPC経由推奨）

強制再起動、

AppleIDのサインアウト・サインイン

など手順を経て、それでも直らない場合に試すことをお勧めします。

iPhoneの設定をデフォルトに戻す、を一度ではなく、再起動して何回かやって不具合が直った、という方もいます。なかなか一辺倒にはいかなかったりするので、簡単な方法から(上に書いた通り)順に試すことをお勧めします。

以上、色々アドバイスの結果がうまく行ったかどうか 報告なり何なりあると 他の方にも参考になるのですが、報告がない方も多いので、正常な環境しか持っていないユーザーからは 確実な方法はコレ！とは言えず、あれをしたらどうか、これをしたらどうか、というアドバイスにしかできないのです。

iOSのアップデートを先にしてみてください。最新はiOS15.2.1となっています。

インストール後、アップデートも完了したということでしょうか。

設定＞自分の名前＞支払いと配送先

が ありませんか。

PCもしくはMacで

https://appleid.apple.com

こちらにサインインし、お支払い情報からカードを追加できるか試してみてください。

自分も同じように課金がしたいのですが、インストールが始まる直前に支払い方法の確認が出てきてしまい、編集というボタンがグレーになって先に進むことができません。

iPhoneの設定をデフォルトに戻す

にそって進めれば治るということでしょうか？？

確実に治るとは限りません。

ただ、デバイスに問題を抱えている場合、全ての設定のリセットを行うことで、改善される場合が多いということです。