iPhoneをバックアップしようとしたら　ソフトウェア・アップデートが必要です　と出ました

iphoneを繋いだら、ソフトウェアアップデートが必要、と言われたのでしょう？

その場合は、macOSのアップデートではありません。iphoneを認識できるようにするためのちょっとしたアップデートで、okとすればすぐ完了し、macOSのバージョンは何も変わりません。

>BigSurのままバックアップする方法はありますか？iOSは15.3.1です

出来るんじゃないかと思うけど。

Big sur, safariのアップデートがあるのでは。