公式Appleの手順をふみましたが古いIDのままサインアウトが出来ません

iPhoneで随分前にAppleIDを新しくしたら(Macの iCloudをサインアウトしないままだったらしく)MacのiCloudのIDが古いままでサインアウトできない(新しいIDに変更できない)です。

旧アドレスは随分前に使用出来なくしたので古いパスワードを入力しても永遠にくるくるしてます。

公式Appleのサイト手順にのっとり、iPhoneを使用してAppleIDを新しいアドレスに設定したのですが(二重認証などしたつもりだが)相変わらずMacのiCloudIDは古いままです。Macの3システム環境設定のiCloudのチェック外しもしたつもりですがサインアウトもできずです。

どうしすればAppleIDの同期をして、Macの iCloudを新しいアドレスIDで使用することができますか？ご教示下さい。