ヘルスケアの共有には、必ずiCloudメールが必要になりますでしょうか？

iCloudメールではなくて、

設定＞自分の名前＞iCloud＞ヘルスケア＞オン

になっている必要があると思います。

Wifiがない場合は、

設定＞モバイル通信＞ヘルスクエア＞オン

になっているかも 確認してみてください。

共有すると、相手側に 共有を受け入れるかどうかが ポップで出てきたと思います。どこのページをわざわざ開くなどせずに わかるはずなのですが…。

書き込みされたのと ちょうど同じ時期に、同じ質問をされている方がいました。

ヘルスケアの共有ができません。 - Apple コミュニティ

こちらの方にお勧めした、すべての設定のリセットか、あとはApple IDをサインアウトして、サインインし直してみるといいのではないかと思います。

すみません、どこがグレーアウトになるのか 見当も付かないのですが、、

サポート記事の「まず用意するもの」以下、手順が合っているかどうか、確認書いてみてください。

ヘルスケア App のヘルスケアデータを共有・閲覧する - Apple サポート (日本)

参考リンク先追加:

iPhoneの「ヘルスケア」でデータを共有する - Apple サポート (日本)

連絡先に登録されていない、、ということはないですよね…