ストレージが上限に達し、受信できていないメールを受信したい

メールの受信の設定はpopですか？imapですか？

popの場合ならストレージが上限というのは受信してる端末側のストレージのことでしょうが、imapの場合ならそのストレージというのはサーバ側であなたに割り当てられた容量のことです。なので、この場合はいくら端末側の容量を開けても効果ありません。サーバ側のメールのいらないものを削除する必要があります。

また一旦、ストレージ上限に達して未達になったメールは、いくら容量を空けても相手に再送をお願いしない限り届きません。配達できませんでしたのメッセージが出た時には、すでにそのメールは配信不能で捨てられてます。

そのメールは保留になっている確証はありますか？

送信元にエラー返して送信が終了していることもあり得るので、xyさんが示された通り、再送信してもらうが確実です。

少し訂正：

popの場合でも、サーバ側で各ユーザに用意されてる容量が一杯になると、ストレージが上限で受信できません、になります。なので、この場合もやはり、削除すべきはサーバ側に溜まったメールです。popの場合は、一般に、サーバ側で各ユーザに用意されてる容量は少ないです。なので、普通は既読になって何日か経過したら（具体的な日数はユーザが指定できることが多い）メールを自動で削除するとかの設定になってることが多いです。

> 配達できませんでしたのメッセージが出た時には、すでにそのメールは配信不能で捨てられてます。

捨てられるという表現は不適切かもしれません。差出人に配信できませんでしたというエラーと共に戻されます。

再送信してもらう。

それは特定のメールだけの症状なのでしょうか。

1.複数メールの場合⇨メールApp自身の問題の可能性

2.特定アカウントのみの場合⇨メールアカウント削除再追加で改善する可能性