ローカルに保存してオフラインで視聴する機能はありますか

失礼致します。

残念ながら、下記リンクの「iPhone、iPad、iPod touch、Mac で番組や映画をダウンロードする」の項目の最後に有る「注釈」に、以下の様に記載されていますので、iPhone、iPad、iPod touch、Mac ではダウンロード可能（Apple TV チャンネルでダウンロードしたコンテンツは、最長 30 日間で期限が切れます）ですが、Apple TV では Apple TV App からコンテンツをダウンロードする事は出来ない様です。

• Apple TV 、スマートテレビ、ストリーミングデバイス、tv.apple.com/jp で Apple TV App からコンテンツをダウンロードする事は出来ません。
• これらのデバイスでは、代わりにコンテンツをストリーミングして下さい。

Apple TV+ および Apple TV チャンネルの番組や映画をダウンロード／ストリーミングする - Apple サポート (日本)

＜追記＞

下記リンクの「映画やテレビ番組の再生が始まらない場合」の項目の最後に有る「注釈」に、以下の様に記載されています。

• 802.11a/g/n/ac 対応の Wi-Fi ルーターをご利用下さい。
• HD コンテンツをストリーミングするには、8 Mbit/秒以上の速度が必要です。
• 規格上の通信速度が遅い Wi-Fi 接続では、HD ビデオコンテンツをストリーミングするには十分な速度が出ない事も有ります。

Apple TV App で映画やテレビ番組の視聴やストリーミングができない場合 - Apple サポート (日本)

Fire TV は利用していないので分かりませんが、回線速度によって再生に影響が出るのは十分に有り得ると思います。