option commad 　R実行すると　510Fのエラーが出て先に進まない

過去にもいくつか書き込みがあります。

初期化失敗 - Appleサポートコミュニティ

WiFiでダメならethernetでやってみる、とあります。

iMacの「-5101F」エラーについて

これにはいろいろなコメントがついてます。

基板上のボタン電池（ついてるのかどうか知りません）が消耗してて内蔵時計がおかしいのでは？

インターネット復元の際に日時を合わせろ、とか。

でも、インターネット復元で復旧ユーティリティが立ち上がればターミナルのdateコマンドで日時合わせられますけど、復旧ユーティリティが立ち上がる前だと無理ですね。別macでusbインストーラを作成して、それで立ち上げるならできるでしょうね。

shift + option + command + rのインターネット復元でならうまくいったとあります。内蔵時計が狂ってるなら、どうしてうまくいくのかよくわかりませんけど。

ということで、usbインストーラを用意する、shift + option + command + rのインターネット復元で（取り敢えず、工場出荷時の）macosをインストールする、がうまくいく可能性がありそうです。基盤上のボタン電池を新しくするというのも良さそうですが、iMacだとハードルが高そうですし、確かめた書き込みはありません。