親が Apple 製品を持っていない場合、子供からの承認要求に応えることはできないのでしょうか？

失礼致します。

そもそも、下記リンクの「対応デバイスを使っているか確認する」の項目に、以下（抜粋）の様に記載されていますので、以下の対応デバイスをお持ちでない場合は、「ファミリー共有」を設定する事は出来ません。

• ファミリー共有を設定したり、ファミリー共有グループに参加したりするには、iOS 8 以降を搭載した iPhone、iPad、iPod touch、OS X Yosemite 以降を搭載した Mac が必要です。

「承認と購入のリクエスト」が機能しない場合 - Apple サポート (日本)

また、下記リンクの「リクエストを承認または却下する方法」の項目にも、以下（抜粋）の様に記載されていますので、残念ながら対応デバイスをお持ちでない場合は、お子様のリクエストを承認または却下する事は出来ません。

• ファミリー共有の管理者は、自分の iPhone、iPad、iPod touch、Apple Watch、Mac を使ってリクエストを承認または却下出来ます。

「承認と購入のリクエスト」でお子様の買い物を承認制にする - Apple サポート (日本)