【Apple ID設定をアップデート】が何度やっても消えない

前のiPhoneはWiFiに繋いでおけば良いと思います。新しいiPhoneが同じApple IDに設定されました、とか出て承認が求められ、確認コードが表示されますので、それを新iPhoneに入力してやる必要があると思いますが、それ以上に操作が要求されることはないと思います。前のiPhoneと共通の暗号化キーを作成するために、WiFiに接続されてApple社のサーバと通信できるようになってる必要はあります。前のiPhoneのパスコード入力要求されるとしても、新iPhoneからだったと思います。

手元でWiFiを利用できないなら、新iPhoneでモバイル通信使えるようにしてから、インターネット共有で前のiPhoneをインターネットに接続してやってみるのも手かも。

Apple IDアップデートの案内で、パスワード入力しろとか出てませんか？

そしたらパスワード入力したら良いのですが。その後、パスコード入力しろとか出るかもしれませんが、それも指示通り入力します。ひょっとしたら、前のiPhoneのパスコード入力しろとも言われるかもしれません。全て指示通りにします。

前のiPhoneも手元にあるならWiFiに接続しておきます。

新しいデバイスを同じApple IDに追加しますと、全てのデバイスで共通の暗号化キーに作り直すためにそんな要求されます。