初期化する場合 Apple ID は完全に消えますか

初期化する時に、最初にApple IDからサインアウトしてアクティベーションロックを解除します。なので、初期化できてるならApple IDは消えてます。

でも、画面が割れた状態で、パスワード入力してサインアウトできますか？

別の端末（mac、iphoneなど）の探すで問題のデバイスを消去してから、削除とするなら、画面割れてても初期化できます。Windowsのブラウザでicloudの探すにサインインして消去、削除しても良いです。

Apple IDはユーザの識別情報であり、端末がどうなろうと消えません。

修理に出した端末からは、本体交換になるとか初期化されれば、消えるかも。