「AppleIDに問題があるためこのMacをiCloudに接続できません」と表示され、再設定したパスワードを入力しますが、何度もエラーになってしまう。

macの年式を含むモデル名がわかれば、macOSバージョンをどこまでアップデートできるかわかるのですが。

10.10だとsafariでも閲覧できないページもあるのでは？もう少しそのmacをお使いになるのなら、できるだけmacOSバージョンをあげて使う方が利便性でもセキュリティの面でも良いと思います。

どうしても現在のmacOSバージョンのまま使う必要があるのなら、同じApple IDを設定したiPhoneなどであらかじめセキュリティコードを取得しておき、その直後に問題のmacでApple IDのパスワードに続けてセキュリティコードを入力してやればサインインできるはずではあります。パスワードがpasswordでセキュリティコードが123456なら、問題のmacでApple IDにサインインする時には、パスワード欄にpassword123456と入力します。

macbook air mid 2013ならbig surまでアップデートできます。アップデートすればまだまだ使えると思いますけど。

big surには対応機種に入ってますけど、montereyだと外れます。

macOS Big Sur と互換性のあるコンピュータ - Apple サポート (日本)

macOS Monterey と互換性のあるコンピュータ - Apple サポート (日本)

アップデートするには、

macOS をダウンロードする方法 - Apple サポート (日本)

にsafariでアクセスして、目的のmacOSバージョンのインストーラアプリをダウンロードし、実行します。

ただ、yosemiteだといきなりcatalina（10.15）やbig sur（11）に上げるのは問題が出るかもしれませんので、一旦、el capitan（10.11）あたりにあげてから目的のバージョンまで上げる方が良いかもしれません。catalina以上だと32bitアプリは全く動かなくなりますので、その互換性を大事にしたいなら、mojave（10.14）までに止めることです。また写真をiPhotoで管理されてると、catalina以上では動きませんので、写真.appで見られるようにしておく方が良いです。

macOSのバージョンはなんですか？

使用機器に10.10となってますが、正しいですか？

もしそうなら、2ファクタ認証には対応してませんので、パスワード入力してもサインインできませんけど。最近のmacOSならApple IDにサインインする時にパスワード入力すると確認コードの入力画面が出てきます。10.10だとこれが出てきません。なので、サインインできません。2ファクタ認証に対応するのはel capitan（10.11）以降です。

10.11にできないのですか？