古いMac バージョンアップできますか？

とりあえず Firefox や Google Chrome で急場を凌いでください（可能な場合）。

https://www.mozilla.org/ja/firefox/new/

https://www.google.com/intl/ja_jp/chrome/

Safari は macOS に付属しています。なのでお使いの Mac が新しい macOS に対応していなければ古い Safari のままです。

macOS をダウンロードする方法 - Apple サポート (日本)

つまり macOS をアップグレードするための条件はお使いの Mac のモデル次第ということになります。

Mac のモデル名とシリアル番号を調べる - Apple サポート (日本)

ドラぼたん さんによる書き込み：

2013年購入、MacのモデルはiMac 12.1

「機種 ID：iMac12,1」ですと「最終対応のオペレーティングシステム：macOS High Sierra」です。

iMac のモデルを識別する - Apple サポート (日本)

お使いの Mac のモデル、macOS のバージョン番号とビルド番号（両方）の〝正確な〟情報をお書きください（シリアル番号は不要です。というか個人情報なので書いてはいけません）。

Mac に搭載されている macOS を調べる - Apple サポート (日本)

引用：ビルド番号も調べる必要がある場合は、バージョン番号をクリックすると、ビルド番号が表示されます。

ドラぼたん さんによる書き込み：

はい、Safari、まったく動きません（泣）

マジですか。セーフモードや新規アカウントでも同様でしょうか。

Mac でセーフモードを使う方法 - Apple サポート (日本)

Macの「ユーザとグループ」設定を変更する - Apple サポート (日本)

なおターミナルで curl を使えば大体においてどうにかなりますがそれ以前に正確な情報が必要です。

まずsafariを動くようにしないとアップデートもできませんね。

起動時、command + rとしてmacosユーティリティで起動し、そのディスクユーティリティで内蔵ディスクに対してfirst aidをかけます。

それから、macOSの再インストールにして、macOSを再インストールします。

これでsafariは動くようになるはずです。safariが動けば、D300さんご紹介のページからmojaveのインストールアプリをダウンロード・実行します。これで完了して再起動すれば、mojaveになります。

ワイヤレスキーボードをご利用だと、起動時command + rとして（ジャーンの起動音が鳴った直後にcommand + rとして、そのまま押し続けます）macOSユーティリティにするのがとても難しいです。うまくいかないときは、ジャーンの起動音の後、少しずつタイミングを変えてやり直してみます（キーを押すタイミングが早すぎても遅すぎてもうまくいきません）。またうまくいっても、macOSユーティリティになった途端キーボードが使えなくなる可能性があります。なので、量販店で販売されてる安価なwindows用のusbキーボードを用意して行う方が良いかもしれません。windows用のキーボードでも、windowsキーはcommand キー、altキーはoptionキーと読み替えれば、macでそのまま使えます。usbマウスもある方が良いかもしれません。これもwindows用の安価なもので問題ありません。

> とりあえず安いキーボードをネット注文から

今のままで、D300さんが示されてるリンクが開くなら、そのまま進めれば良いですよ。

ただ、最初にsafariも動かないと書かれてたので、まずsafariを動かす方法ということで提案してみました。

safariが動かないことには、アップデートのダウンロードも、chromeのダウンロードもできませんからね。

sierraのsafariだと、たとえ正常でも、（古いために公開鍵も対応できなくて）色々開けないページもあるとは思います。本当に壊れてて動かないなら、macOSの再インストールが必要ですし、D300さんがご紹介のページが開くなら、そのまま進めれば良いです。

そのモデルならCatarinaまで対応していますね。

macOS Catalina と互換性のあるコンピュータ - Apple サポート (日本)

ただ、いきなりCatarinaにアップすると使えなくなるアプリが多数出てくる可能性が高いので、アプリの互換性を考えたらMojaveが良いかも。