古いiMacをMacBook Airの外部ディスプレイとして繋げたい。

出力側にも条件があるので、MacBookAirの年式を含むモデル名やOSのバージョンを書いてもらった方が良いです。

条件はこちらで確認を

ターゲットディスプレイモードで iMac をディスプレイとして使う - Apple サポート (日本)

ケーブルは機種に合わせて以下のものが必要です。

• 2 台の Mac コンピュータを Thunderbolt  ケーブルまたは Thunderbolt 2  ケーブルで接続

ターゲットディスプレイにしたいということではないかと思いますが、ターゲットディスプレイは、iMac側だけでなく、macbook air側の年式、macosバージョンも関係しますよ。詳しくは以下のサポート記事を読んでください。ディスプレイにするimacの条件、macbook air側の年式、macosバージョンの制限、必要なケーブル全て書いてます。

ターゲットディスプレイモードで iMac をディスプレイとして使う - Apple サポート (日本)

なお、インターネット上には、macbook air m1でもターゲットディスプレイのimacにディスプレイとして接続できるとしてる記事もありますが、これは一部のimacで可能なだけで、どのimacでもできるわけではありません。Appleの公式サポート記事に従ってできなければできないということです。

できませんね。