「西日本新聞」と「ウェザーニュース」の支払いがずっと続いているが「サブスクリプション」に表示されない為、解約できない

失礼致します。

サブスクには表示されません。

確認ですが、Apple から 「西日本新聞」と「ウェザーニュース」の「領収書」メール は届いていますでしょうか？

届いている場合は、App Store 経由でサブスクリプションを登録されていますが、サブスクリプションは登録時に使用した Apple ID に紐付けられていますので、「領収書」メールに記載されている「Apple ID（下の画像赤枠部分）」と、現在サインインしている Apple ID が同じかどうかを確認 して見て下さい。

どうしたら解約できますか？

現在サインインしている Apple ID と、「領収書」メールに記載されている「Apple ID（上の画像赤枠部分）」が異なる場合は、「領収書」メールに記載されている「Apple ID」でサインインし直してから、下記リンクの手順でサブスクリプションを解約 して下さい。

Apple のサブスクリプションを解約する必要がある場合 - Apple サポート (日本)

もし、サブスクリプションの登録時に使用した Apple ID（「領収書」メールに記載されている「Apple ID」）のパスワードを忘れた場合は、下記リンクの手順で Apple ID のパスワードをリセットし、アカウントへのアクセスを復旧 して下さい。

Apple ID のパスワードを忘れた場合 - Apple サポート (日本)

対象サービスをwebで検索後にログインして解約を行う必要があります。

定期購読している（カードで決済されている）のにサブスクリプションに表示されないのは、それぞれのWebサイトで購読の申し込みをしたからでは？

すでに書かれているように、当該Webサイトにログインして解約の手続きをしてください。