iPhone 13 のソフトウェアアップデートが、「今すぐインストール」と表示され進みません

一旦データの移行は置いておいて、新しいデバイスのセットアップを終わらせてみて下さい。

何も移行せずに、「こんにちは」の画面からどんどん進んでいきます。

（ソフトウェアアップデートやFaceID、ApplePay 、iCloudのサインインなど全部「あとで」や「スキップ」などで飛ばして問題ありません）

ホーム画面の所まで進めたらソフトウェアアップデートを行います。

iPhone や iPad をアップデートする - Apple サポート (日本)

その後、再度新しいデバイスとして初期化を行い古いiPhoneから移行してみてください。

iPhone、iPad、iPod touch を初期化する (工場出荷時の設定に戻す) 方法 - Apple サポート (日本)

13をまず先にiOS17.0.3にアップデートする。