MacにiPhoneをバックアップさせたく無いのですが。

バックアップは「必要と感じた時だけ」するものではなく、いつの間にか（意識しなくても）取れているようにしておくべきものと思います。突然iPhoneが起動しなくなって、リカバリーするしかなくなったときに困ることになりますが…

というのはさておき、iPhoneをMac miniにつなげるのは同期するためですか？

そのときにバックアップをとられないようにするには、「iCloudにバックアップする」というオプションを選択するしかないと思います（「バックアップをとらない」という選択肢はないので）。

もしかして、Mac miniにつなげるのが充電のためだとしたら、コンセントから充電するようにすれば、うるさいメッセージを見なくてもすみます。

ロックを解除しろと言われるだけなら、同期してるだけで、バックアップは取ってないのでは？

今すぐバックアップするのボタンタップして初めてバックアップが取られます。また、この時には、iPhoneの画面にパスコード入れろと出ます。パスコード入れない限りバックアップは取られないと思います。

バックアップ取る時に毎回パスコードを入れるのは面倒ということなら分かりますが。でもこれは避けられないみたいです。