バックアップをみると「この iPhone 0 KB」と表示されているが、新しい iPhone のデータは残りますか

新旧のiPhoneのApple IDは同じですか？

Apple IDが同じである場合は、旧iPhoneのデータを削除する前に、iCloudからサインアウトしてください。そうすれば、新iPhoneのデータに影響が出ることはありません（「データを削除」が「設定＞一般＞転送またはiPhoneをリセット」の「すべてのコンテンツと設定を消去」を実行するという意味なら、その過程でサインアウトされるので意識しなくてもよいのですが、一部のデータだけを手動で削除する場合は、必ずご自分でサインアウトしてから行うようにしてください）。

バックアップについては、「このiPhone」と書かれているので区別はできていると思いますが、旧iPhoneのバックアップが容量を占めていて、新iPhoneのバックアップをとるのに必要な空きがないのでは？　それとも新iPhoneを使い始めたばかりでまだバックアップがとれていないのかも。新iPhoneの方で「今すぐバックアップ」をタップするとどうなりますか？　「空き容量が不足しています」のようなメッセージが出るなら、旧iPhoneのバックアップを削除すればよいと思います。

クイックスタートにしろ、バックアップからの移行にしろ、そのままではiPhoneの名前が同じになるのでは？

そのためにバックアップが上書きされてしまってるのでは？

新iPhoneの名前を旧iphoneの名前から変更した上でバックアップを取って見るのはどうですか？

新iPhone、旧iPhone同じiOSバージョンにしてるなら、バックアップが上書きされても構わないかもですが。

自分の場合は、旧iphoneは移行した後、別の構成にしてサブ機として使ってるので、名前を変えてバックアップは別に取るようにしてます。