無料ゲームがダウンロードできない

支払い方法を登録しないでも無料アプリをダウンロードできるのは最初の1度だけです（それも特定のApple IDの作り方をしたときだけです）。その後は支払い方法を登録しない限りたとえ無料のアプリでもダウンロードできません。

何か支払い方法を登録してください。

もちろん無料アプリなら、支払いが生じるようなことはありません。ただ無料アプリでも、そのアプリの特定の機能を利用しようとすると課金されることはあります。もちろんその時には、課金を承認する画面が出てきて承認としますので、知らないうちに課金されるということはありません。