iTunesで購入したのにライブラリに入ってない

一度は購入の手続きをしたのですよね？

iPhoneの「設定＞氏名＞メディアと購入＞アカウントを表示＞購入履歴」に履歴があるか確認してください。

一度ダウンロードしているのに履歴がないことは考えられません。決済が「保留」となっていても、購入後時間がたっていないならそれほど心配することはありません。決済処理が終われば領収書メールが届きます。

再ダウンロードについては以下の記事が参考になると思います（iTunes Storeでその曲を検索してダウンロードするのではありません）。

音楽を再ダウンロードする - Apple サポート (日本)

Apple から App、映画、その他のコンテンツをダウンロードする際に問題が起きた場合 - Apple サポート (日本)

購入した曲を削除すると非表示になってしまう（購入済みに表示されない）ということが過去にあったような気がします。その場合の対処法は2番目のリンクに記載されています。