iPhone - Apple ID 画面にある「サインアウト」を「サインイン」にする

サインアウトになってるということはサインイン状態なのでは？

そもそもコピー元がサイアウトの状態でクイックスタートってできるのでしょうか？

クイックスタートではアプリやicloudのものは後から（Apple IDに従って）ダウンロードになりますので、Apple IDが設定されてない状態ではどうにもできません。

やるとしたら、もう一度設定＞一般＞転送またはiPhoneをリセット＞すべてのコンテンツと設定を消去で初期化してクイックスタートをやり直すしかないのでは？

でも、Apple IDが設定されてない状態でサインアウトになってるなら、初期化もできのかしらん？、と思います。

最悪、購入証明書を添えてAppleにアクティベーションロックを解除してもらうしかない状態かもしれません。

>googleのログインの際、『デバイスにアクセスできない』の表示が出て、

gmailのログインと、Apple IDのログイン（サインイン）は、会社が違うので全くの別物ですよ。

> googleのログインの際、『デバイスにアクセスできない』の表示

Apple IDはgoogle の認証には関係ないのでは？

google認証システムをインストールする必要があるのでは？

>Gmailアプリを開いて『はい』を…という指示がでてきましたが、アプリを開いても、ログイン画面で何も変わらずの状態でした。

Gmailアプリにサインイン済みであることが前提ですよ。

従前はGoogleの認証アプリだったけど、最近だと、Youtubeアプリもいけるかも。