Lightning⇆USB-Cのコネクターってどんなものを使ったのですか?
USB-Cの方はメスのものを使ったのですよね?
もしそうなら、規格外のものですからどういう結果になっても何とも言えないと思います。
Lightning⇆USB-Cのコネクターは、これまでのLightningポート備えた製品とUSB-Cポートの製品とを使う場合便利ですので、つい使いたくなりますが、きちんとした規格はありません。私も使ってますが、一つはiPhone 12 の充電すら満足にできませんでした。それで買い直したpd対応という製品は充電は何とかできてます。細かくみると、pd対応とか、情報転送能力とか問題になりそうな点はいろいろあります。カードリータとのコネクタに使うなら、電源供給能と情報転送能力と両方が必要です。電源供給能に関しては、果たしてLightningポートから十分な電源を供給できるかという問題もあります。実際に価格にもずいぶん差があります。試してみて使えたらラッキーという世界ではないでしょうか。たとえ今使えても、将来のアップデートで使えなくなるという可能性もあります。実際、3rdパーティの製品の場合、アップデートで使えなくなることはよくあります。
なので、問題のカードリーダが使えないという時に、問題のコネクタのため、という可能性は捨てきれません。これまでLightningポート用のカードリーダを使われてきたのなら、それを使うか、パソコンやicloud経由で利用する方が無難と思います。