iMac late 2012なら、catalina(10.15)まではアップデートできます。
現在のインターネット環境で使うには最低10.11が必要です。10.11でも表示されないページはたくさん出るとは思いますけど。Apple IDの2ファクタ認証も10.11から対応してます。それ以前は対応してませんので、普通にアクセスしたのでは認証もできません。
別のパソコン(macでもwindowsでも構いません)があれば、以下のページから10.11のインストーラアプリをダウンロードして、USBメモリか何かで問題のmacに入れてやり、それを利用して10.11にすれば、もう少しアップデートできるようになります。
macOS をダウンロードしてインストールする方法 - Apple サポート (日本)
このページには10.7以降のインストーラへのリンクがあります。特にsierra以下ならdmgファイル(5GB強あります)としてダウンロードできるようになってます。mac以外とか、10.11など使えないmacの機種(例えばAppleシリコン機とか)でもブラウザでダウンロードできるのではないかと思います。ダウンロードできて、USBメモリか何かで問題の10.8.5のmacに持って来れたなら、上のページに書いてあることをよく読んで対応すれば10.11にできます。10.11にできれば、catalinaまでアップデートできます。
ちなみに、10.8.5のままでは上のページは何も表示されませんので、10.11のインストーラファイルもダウンロードできません。
catalinaにすれば、今のインターネット環境でもほぼ問題なく使えるでしょう。
macを長く使おうと思えば、無料でアップデートできるのですから、適宜アップデートして最新の状態にしておくことは必須です。