Mac - メールのデータ移行が出来ません

メールの受信方式はPOPですか？

IMAP方式なら、メール本体はサーバ上にあり、端末はそれを参照するだけですから、メールの設定を移行する（普通はせいぜい数kBの単なるコピー）だけで新端末で問題なくメールを使えるのですが。

POPだと、端末側にメールを保存してますので、移行するのはトラブルが起こりやすいです。また端末側のディスクも消費しますので、いいことはないです。

もし、サーバがIMAPをサポートしてるなら、今までのメールのコピーをそのまま新端末にコピーして読めるようにしておくにしても（確実なのは、旧端末のメールアプリで今までのメールを書き出して、それを新端末に移し、新端末のメールアプリで読めるようにする）、今後のメールはIMAPで受信する方が簡単で便利になります。

もし、IMAP方式にも関わらずエラーになるなら、メールに関しては最初から設定し直す方が早いです。メールのIMAPの設定だけなら、そんなに複雑ではないと思いますが。