メール受信　メールを開かないと出来ない

省電力モードにしているというわけでもないのですよね？バッテリー低下中などはバックグラウンドでの動きをセーブしてメールを開くまで受信しないことがあります。

バッテリーは関係ない場合に、アプリが思ったような動きをしないときに 手っ取り早く試せるのは

iPhoneを強制的に再起動する - Apple サポート (日本)、

通知が来なくなったときに有効なのは アプリの再インストール(設定＞一般＞iPhoneストレージ＞メール＞アプリを取り除く、そして再インストール)、

それでも改善しない時には、

iPhoneの設定をデフォルトにリセットする - Apple サポート (日本)

を試すと良いです。