App Storeででてくるアカウント名が違う

App Storeから購入する際のアカウントは、設定＞氏名（Apple Account）＞メディアと購入をタップすると、アカウントを表示と出ますが、こちらです。通常は氏名のApple Accountと同じですが、違うように設定してるとか？同じにしたいなら、メディアと購入の方をサインアウトして、氏名のApple Accountにサインインすれば良いです。でも、別アカウントで購入したものはアップデートがあるたびにパスワードの入力が求められます。

それは、そのアプリを昔のApple Accountで購入（ダウンロード）してるからです。

アプリは購入時のApple Accountと紐付けられてます。Apple Accountを変更しても、以前のアカウントで購入したものをアップデートする際には以前のアカウントのパスワードを求められます。

Apple Accountのプライマリメールアドレスを変更する - Apple サポート (日本)

のサポート記事の方法でメールアドレスのみ変更すればおっしゃるようなことにはならないのですが。

今となっては、現在のApple Accountで再購入するしかないです。

Apple AccountはApple社がユーザを識別するためのものですから、同じ個人が使う限り、機種変更しような何しようが同じApple Accountを使うべきなのです（社用ユースと個人ユースとかなら別アカウントもありですが）。別のアカウントだと別人が使うことになります。