アップルIDではないアドレスにメールをもらう方法を教えてください。

＞削除して第一アドレス

「削除した第一アドレス」、つまりメインのアドレスを削除したのですね。

Apple Accountのメールアドレスについては以下の記事があります。

Apple Accountのメールアドレスについて - Apple サポート (日本)

「第二アドレス」と書いておられるのは「追加のメールアドレス」のことかと思いますが、第一アドレス（主要メールアドレス）が使えなくなったからといって自動的に「追加のメールアドレス」が「主要メールアドレス」に昇格する仕組みではないと思います。

Appleからの連絡は主要メールアドレスに届くので、主要メールアドレスが使えなくなった場合は、Apple Accountの主要メールアドレスを変更してください。

Apple Accountの主要メールアドレスを変更する - Apple サポート (日本)

第二アドレスを主要メールアドレスにしたい場合は、いったん第二アドレスを削除する必要があるかもしれません。