Apple Watch 3が起動しなくなりました

失礼致します。

残念ながら、Apple Watch Series 3 は、ビンテージ製品（Apple が販売店への供給を停止した日から 5 年以上 7 年未満の製品）として登録されており、下の画像の様に修理サービスの選択肢にも表示されませんので、少なくとも Apple での修理は行えない可能性が高い と思います。

• 保証期限の切れたApple製品の修理サービスを受ける - Apple サポート (日本)
• Apple Watchの修理サービス - Apple サポート (日本)

＜追記＞

Apple Watch Series 3 のサイドボタンと Digital Crown の両方を 10 秒以上、または Apple ロゴが表示されるまで長押しして、強制的に再起動 させても改善しませんでしょうか？

改善しない場合は、Apple Watch を修理可能な非正規店で修理 して貰う必要が有るかと思います。