MacBookの充電他について

バッテリーがダメになってる可能性があるのでは？

電源オンのまま長期間放置してると、バッテリーは空になり、そのままにしてれば過放電状態になります。過放電状態はバッテリーを著しく劣化させます。1週間（3日程度が無難？）以上使わないなら、システム終了にするべきです。システム終了にしてれば、バッテリーの消費はほとんどありませんので、1-２ヶ月でバッテリーが空になることはありません。

9月に購入なら、今なら無償修理で対応してもらえるかもしれません。ただ、バッテリーの消耗なので、無償にはならないかもしれませんけど。バッテリーの消耗にしても早すぎるようにも思いますので、電源回路にも問題があるのかもしれません。

充電している状態で１時間程度放置しても変わらなければ故障の可能性もあります。

シャットダウンしても起動するのは充電状態だからです。