MacBook Air - プリンターがオフラインになりプリントができない

アップデート前のMacからなら問題ないとのことなので、アップデートしたMacの方は プリンタドライバのインストールのし直しが必要かもです。

お使いのプリンターのメーカーのサイトでお使いのMacOSで利用可能なドライバがあるか確認してアップデートさせるか、アプリ経由からならアプリ経由でドライバのアップデートが可能か確認してみてください。

プリンターのメーカや機種名も何も情報がありませんので、コメントもつきにくいと思います。

最近は、AppleがリリースしてるAirPrintドライバーを利用するなら、アップデートでプリンタドライバーも同時にアップデートされますので使えなくなるということはないのですが。

AirPrintについて - Apple サポート (日本)

下手にメーカのサイトからプリンタドライバーをインストールしたりするとよく不具合が起こります。