送信できていないのに「送信済みトレイ」に移行します
Mailを送信したところ何のエラーもなく送信したメールが「送信済みトレイ」に移行していたので、送信できていたと思っていたら後日送信できていない（相手に届いていない）ことが判明しました。
プロバイダーに聞いたところ、「それでは送信できないはず」が正当らしいのですが、送信できなかったメールでも「送信済みトレイ」に移行してしまうものなのでしょうか？
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risedgeさん、最後の最後までどうもありがとうございました。
実はもうファイヤーウォールは入れていて、AntiVirusソフトも入れています。
それでもこのようなことが起こります。
やはりセキュリティソフトではスキャンしてもみつからない何かが入っているみたいです。
自分で指定していないサイトに接続しようとしてそれをFWが止めているログもあるみたいですから。
頂いた皆さんからの情報とプロバイダー等にも聞きながら、頑張ってみます。ありがとうございました。