電源は入るけど、灰色の画面のまま

>内蔵電池が無くなったかもしれないことも、この灰色画面に関係しているのでしょうか？
はい。その可能性はあります。交換してみることをお勧めします。

型が古くて、どこにも対応した内蔵電池が売ってないみたいで、取り寄せになるみたいです。そして、こちらのiMacは中身がややこしいらしく、店頭では扱わないようにしてるみたいです。
アップルケアに電話していろいろ試してたら、灰色の画面さえ出て来なくなりました。PRAMクリアもうけつけなくなりました・・・一回しか、ジャ〜ンって鳴りません・・・
どなたか、この症状がわかる方、いらっしゃいますか？
ターゲットモードもうけつけません・・・

IMacの内蔵電池は3.6Vの円筒型リチウム電池のようで、探せば結構扱っているところありますよ。
「iMac 3.6V 電池 価格」でググってみてください。
交換手順はこちらが参考になるでしょうか？
http://www.linkclub.or.jp/%7Enorioh/imac/iMacanalyze/imacdvopen.html
もし自分でするのが不安であれば、請け負ってくれるところもあるようです。
http://www.ryoya.net/imac/index.html
正規サービスプロバイダでもやってくれるところがあるかもしれません。問い合わせてみては？
http://www.apple.com/jp/support/provider/index.html

関係あるかわかりませんが、iMac本体に挿してるコードがネチャネチャします。電流かなんかが漏れて、ゴムが溶けているのでしょうか？
わりと前からネチャネチャしていたと思います。
同じような症状の方、いますか？

スケルトンのコードでしょぉ。あれ、経時変化でネチャネチャしてきます。
それと、内蔵電池はSofmapとかオリオスペックとか秋葉館とか、Macをそれなりに扱っているお店ならおいてあります、

HALさんありがとうございました。面白いサイトですね。参考になります！
NO9さんありがとうございます。まさにその青半透明コード！ネチャネチャ。
結果報告です。地元の修理屋さんに持って行きました。
内蔵電池の問題では無いそうです。HD基盤の、あるパーツが壊れていて、駄目になっているそうです。別のHDに取り替えたら、iMac自体はちゃんと動きました。
そして、読み込めなくなったHDの方ですが、このHDとまったく同じ物があれば、その壊れた部品のとこだけ壊れてない方と取り替えて、中のデータを読み出せるかもしれないということでした。
なので、まったく同じHDを探す旅に出ようと思います。秋葉原とかに。
2000年の夏頃に出たiMacに入っていたHD（黒いゴムに包まれていて、割と珍しい物だから、解りやすいそうです）を売ってそうな場所をご存知の方、教えて下さい。

> 黒いゴムに包まれて
SeagateのU Seriesというやつでしょう。
何GBのやつですか？
私は、iMac Summer 2001 500MHzを持ってるんですが、それに20GBのが付いていました。
80GBのに交換したので余っていたんですが、ついこの間オークションで売っちゃったんですよ。（残念ですが）
このタイプはオークションに時々出ていますよ。

> HD（黒いゴムに包まれていて、割と珍しい物だから、解りやすいそうです）
夏頃、職場のiMac 350のHDDを40GBに乗せ換えたおりに、Sofmapに売ってしまいました。（苦笑）

購入前にご注意を
黒いゴムパンツを履いているにはSeagateのU Seriesで間違いないと思いますが、
U Seriesと言ってもU Series5　U Series6　U Series10などの種類が有ります。
シリーズの違いによってプラッター密度も違いますしファームも違います。
正確な型番(ST32048Aのような番号です）を調べて購入しないとまず動きません。
また型番が同じでもロットによって微妙に基盤が違う場合も有りこの場合も動く可能性は低いです。
新品はもう無いので中古を探す事に成ると思いますので、壊れたHDDを持参して
よく見比べてから（できればお店の人に訳を話して基盤を確認させてもらって）
購入した方が動く可能性は高いです。
それでもアップルが特別な仕様のファームやプラッターをのせている場合は動かない可能性が高いですが。