セットしたディスクは、このコンピュータで読み取れないディスクでした

そのディスクというのは、おそらく光学ディスクの事かと思います。何か外付け機器をつないでいませんか。つないでいないなら、USB 端子に何かが接続されたと誤認されているのだと思われます。その場合は少し故障の気配がします。

先ずセーフブートして見る.

新しいアカウントで試す.

外付けHDDで試す.

お約束のトラブルシューティングをして見る.

トラブルシューティング for Mac (ソフトウェア編)

トラブルシューティング for Mac (ハードウェア編)

Mac OS X：ディスクユーティリティのアクセス権の修復で無視しても構わないメッセージが表示される - Apple サポート

ni_kiさんのコメントが正解だと思いますが，別の可能性として。

ログイン時の起動項目に，ディスクイメージのマウントが指定されているとか。

追記：

クリーンインストールしてバックアップから戻さないでも出るなら，この可能性はないですね。

その、セットしたディスクは、、、のメッセージには、ドライブ名か何かドライブを特定できるものが表示されてると思いますが、それはどうなってるのですか？

> 「初期化」をクリックするとディスクユーティリティが立ち上がります

ディスクユーティリティが立ち上がった時に、左側の欄に何か該当しそうなものはありませんか？

初期化と言われるなら、何かグレーになってるか、ハードだけあって、ボリュームがないとかそういうものではないかと思います。

ディスクユーティリティを立ち上げた時の画面キャプチャーを上げてもらえるとわかりやすいかも。

ディスクユーティリティの左欄に該当しそうなものがないなら、ログイン項目に何か原因になりそうなものは入ってないかとか。

怪しいのはMediaと思います。

これは、装置 disk1 となってますので、内臓ドライブ（disk0）とは別のものです。接続はSATAになってますので、とにかく内臓のものではないかと思います。（内臓）光学ドライブかな？

お使いのmac mini はどの年式のモデルですか？

もし、光学ドライブ内臓のモデルなら、光学ドライブに（使えなくなった）メディアが入りっぱなしになってるとかありませんか？

あるいは、内臓の２つあるSATAポートの片方に故障したhddがセットされたままになってるとか。

AApple Hardware Test をかけてみてはいかがでしょうか。

Apple Hardware Test の使い方 - Apple サポート

今、私も同じ現象が出ました。

色々試してみたのですが、ふと、音楽CDは読めるのか？

と疑問を持ち、音楽CDを入れてみました。

すると音楽は流れませんがCDは認識したんです。

そこで、まさか？ステレオと同じじゃないかと思ったんです。

早速、クリーニングCDを入れて、ドライブをクリーニングしたところデータCDやDVDも読み込んだんです。

つまりオーディオと同じように、単なるドライブの汚れだったんですね。