2018/02/25に172172さんがpv20171007 さんの投稿に返信した症状と全く同じなのですが、すでにディスカッションが打ち切られ、新たに質問するようにとの指示なので、新しく質問を投稿させていただきます。
iPad 128GB 4月末購入、FaceTime不都合判明
・縦横の切り替え不良。
・画面上に操作ボタン表示なし。
・こうなるとコール、応答出来ない。
アップルサービスセンターで iOS11・3・1をrestore後、
上記の症状は改善されたが、
・ホームボタンで一度メニューにした後、現れる小画面をタップしてもFaceTimeに戻れない。
・小画面のタップボタンが機能しない。
・こうなるとコール、応答出来ない。
・マルチタスクに通話中のある小画面がスワイプできない。
・マルチタスクのFaceTime画面はiPadを再起動しないと消えない。
iOSの問題ですか？それとも、私のiPadの問題ですか？
iPad Wi-Fi, iOS 11.3.1
当方の環境で検証してみました。確かに挙動がおかしいです。
送信：iPad Pro 12.9inch iOS 11.3.1
受信：iPad 第3世代 iOS 9.3.5
・FaceTimeビデオ中にホームボタン押下でFaceTime画面は小さくなり（画面は何も表示されなく黒）、ホーム画面が表示される。
・FaceTimeの小さい画面はそのままで、ホーム画面から別のアプリを起動することができる。
・通話を切断してもFaceTimeをタスクスイッチャーから終了させても、小さい画面はフローティングして残ったままで、iPadを再起動させるまで消えない。
以下をオフにするとこの現象は消えました。
設定＞FaceTime＞FceTime Live Photos
iOS8の頃から同じ不具合はあるようですね。
Facetime window will not close. (iPhone 6… - Apple Community
上記のスレッドでも問題切り分けのために工場出荷状態に戻してみるよう提案されていますが、回答がありませんのでそれ以上のディスカッションは進んでいません。
また、FaceTimeビデオでの不具合のある方は、他のアプリでピクチャ・イン・ピクチャは正常に機能しているのでしょうか？
iPad でマルチタスク機能を使う - Apple サポート
「ピクチャ・イン・ピクチャでビデオを観ながら App を使う」
例えばAppleビデオアプリ（[水色のカチンコ]アイコン）を起動して、動画を再生中に、ホームボタンをクリック または ピクチャ・イン・ピクチャアイコンをタップすると正常に機能していますか？それともFaceTimeビデオだけで不具合が起こるのでしょうか？
ちなみに当方の環境では正常に動作しています。
iPad Pro 12.9inch A1584 2015年発売モデル iOS 11.3.1
（Appleビデオアプリで動画再生中にホームボタンをクリックでピクチャ・イン・ピクチャして、メインのウィンドウでSafariを起動しApple公式サイトを開いたところ）
なおFaceTimeビデオでは前述しました通り、設定＞FaceTime＞FceTime Live Photosをオフにすれば正常です。
追記です。
よく考えると最低限iCloudに関するApple ID設定をしなければ、FaceTimeが使えませんね、失礼しました。
iPhone は、改善されたということですが、どのような手順をなさって改善されたのか、教えていただけますか？
サーバ側の不備が解消したから。
iPad、FaceTime 不都合
