スリープ状態でのBluetoothキーボードの再接続

マウス等を利用しておられるでしょうから、それを操作してMac miniのスリープを解除できるかと。

引き続きMac miniのシステム環境設定＞Bluetoothにおいて、デバイス一覧の中から以前にペアリングした際のキーボードを一度削除し、その上でキーボードと再度ペアリングされてはいかがでしょう。

スリープからは電源ボタンを押すだけでも抜けられるのでは。スリープ解除してiPad の方を解除すれば使えると思いますが。

なお毎回やるなら面倒なので、複数デバイスとのペアリングを素早き切り替えられるタイプのキーボードの方が良いかと思います。他社製でiOS とmacOS など3 台程度を切り替えられるものがあったかと思います。

キーボードが認識されず、パスワードが打てないという状況でしょうか。

iPadとの接続を切っただけではダメですか？（自分では試していないので自信なし）

キーボードは何をお使いでしょうか。AppleのMagicKeyboard（充電タイプ）なら、有線でつなげば使えるような気がしますが。

上記の方法がいずれもダメなら、そういう使い方をしないようにするしかないと思います。

補足しますと、「そういう使い方をしない」というのは、キーボードを共用しないというほかに、Macをスリープさせないという方法もありますね。また、USBキーボードをMac用でもWindows用でも、１つ用意しておくといいと思います（古いものが残っていたりしませんか？）