ダウンロード済みになっている曲を外で聴こうとすると全部雲に矢印が刺さったマークになってしまいます

確かに不可解ですね…一度 設定＞自分の名前＞iTunes Storeと App Store＞AppleID＞サインアウト ののち 再びサインインして 曲をダウンロードすると どうでしょうか。

また、設定＞自分の名前＞iTunes Storeと App Store＞ミュージック がオフになっていれば オンにすると どうでしょうか。

ダウンロードにモバイルデータ通信を使用したくない場合は、上の設定の下にあるモバイルデータ通信をオフにすれば良いかと思いますが、Wifiに接続する機会が全くないと 曲のダウンロード自体ができなくなるかもしれません。

iPhoneだと思うけど、空きは十分にありますか。

モバイルデータ通信をオンにしてもダウンロードはオフにできますよ。認証のためにはこれを試すといいかも。