AirPodsを片耳無くしてしまい修理に出したいのですが購入証明書がない場合はどうしたらいいですか？

失礼致します。

下記リンクの「AirPods を修理に出すには？」の項目に、以下の様に記載されていますので、必ずしも購入証明書（レシート等）が必要な訳ではなく、充電ケースや AirPods のオリジナルパッケージでも可能 です。

• 「シリアル番号」が必要になりますので、AirPods 本体の他、充電ケース、購入証明書（レシート等）、AirPods のオリジナルパッケージの何れかをご持参下さい。
• AirPods の「シリアル番号」はケースの蓋の裏側に印字されています。
• AirPods が iOS デバイスに接続されている時は、iOS デバイスの「設定」＞「一般」＞「情報」＞「AirPods」でも「シリアル番号」を確認出来ます。

AirPods 修理 - Apple サポート 公式サイト

キャリアで購入しで、契約も生きているのですよね。

それなら、たぶんキャリアで購入証明を再発行してもらえます。ドコモはできました。

もっとも他の方がお書きのように、修理には不要ですが。

修理は可能です。