MacOSを再インストールしていますが、MacOSユーティリティ画面でマウスが動かなくなるので、先に進めません

ブルトゥース関連の初期化（認識）が出来ていないようなのでUSBの有線マウスで対応するしかないです。

マウスはとりあえずMac専用のものでなくても良いです。（Windows用の汎用品でOK)

認識不良の原因追及はOS再インストールが済んでからしてみましょう。

無線マウスはノイズの影響でおかしくなることもありますので、インストール時とかは避ける方が良いと思います。usb接続の普通のマウスを一つくらいは用意しておく方が良いと思います。

どんなマウス使ってますか？

usb接続の一番シンプルなものならmacosユーティリティで使えなくなるということはあり得ませんけど。