MacBook Air A1370 OS再インストール出来ない

年式は？

A1370は2010年と2011年モデルがあって、初期OSはSnowLeopardとLionの2つのモデルがあるようです。

起動可能なHighSierraのインストールメディアを作ってインストールを試みてみるか、

macOS の起動可能なインストーラを作成する方法 - Apple サポート

インターネット復元を行ってみては？

• Intel 搭載 Mac の場合：「shift + option + command + R」キーを起動時に使った場合は、Mac に当初搭載されていた macOS か、それにいちばん近い現在も提供されているバージョンがインストールされます。起動時に「option + command + R」を使った場合は、たいていは、お使いの Mac と互換性があるうちでいちばん新しい macOS がインストールされます。そうでなければ、Mac に当初搭載されていた macOS か、それにいちばん近い現在も提供されているバージョンがインストールされます。

macOS を再インストールする方法 - Apple サポート

その10.6.3のインストールdvdはそのmacbook airに添付されてたものですか？

a1370というと、late 2010 - mid 2011のMacBook air 11"で幅があります。もし、mid 2011のモデルだと、10.6.3では起動できないのではないかと思います。10.6のリリースが2009年9月（8月28日）ですので、late 2010のモデルにしても10.6.3での起動は少し怪しい感じもします。

もう解決されたようですが、蛇足ですみません。

古いMac、初期OSがSnowLeopardのモデルは、一度OSをアップグレードすると以降SnowLeopardのディスクから起動したりインストールしたりできなくなることがあります。

想像ですがアップグレードの際にBIOSなど書き換わってしまうのでは? という感じで、これはAppleの技術サポートの方もおっしゃっていました。