「Appとデータ」の画面はどこから開きますか？

新しいiPhoneのiOSバージョンがバックアップを取ったiPhoneのバージョンより古かったんですね

まずは、新しいiPhoneをそのままバックアップから復元などせずに、そのまま初期設定を終了しiOSをアップデートします

https://www.youtube.com/watch?v=F5IkbjtCC6U

アップデートが終わったら、iPhoneを初期化します

iPhone、iPad、iPod touch を初期化する (消去する) 方法 - Apple サポート (日本)

その後、バックアップから復元します

お探しの「Appとデータ」はこの時に表示されます（動画の51秒あたりです）

https://www.youtube.com/watch?v=qj0_nfCt32k

iPhoneのソフトウェアが古すぎるって、それは新しい方のiphoneのことでは？

購入直後のiphoneのiosバージョンは最新よりわずかに古いことがよくあります。古い方のiphoneのiosを最新にしてバックアップを取ると、往々にして、おっしゃるようなエラーになります。

そのときは、購入した方のiphoneをソフトウェアアップデートして最新にしてやります。やり方は、wifi環境下でiphoneをwifiに接続してアクティベーションします（今は、wifi環境下のみでアクティベーションできます）。その上で、設定＞一般＞ソフトウェアアップデートを開け、最新にまでアップデートします。iosを最新にできたら、設定＞一般＞リセットですべてのコンテンツと設定を消去にしてやれば、また工場出荷状態にできますので、再度アクティベーションして、バックアップを戻すにすれば、前の機種で取ったバックアップを戻せると思います。