MacBook Airの初期化にWiFi接続は必要ですか？

macを探すがオフになってれば、wifi接続できなくても初期化できます。macを探すがオン（デフォールト）だと、初期化の際にApple社のサーバにApple IDの状態をチェックに行きますのでwifiが繋がってないと初期化できませんね。smcリセットでwifiが使えるようにならないなら、ethernetアダプターを用意してethernet接続で凌ぐしかないですね。

> Ethernetケーブルを購入、接続して

ケーブルじゃなくて、アダプタですね（ま、ケーブル”も”ですけど）。

例えば、こんなもの。

Apple USB Ethernet アダプタ

Apple Storeのものは、ちょっと高めで、性能もイマイチ（100Mbps）ですが、間違い無く動作します。これはiosデバイスで利用することも想定されてますのでこうなってるのではないかと思います。

3rd partyの製品なら、usb接続の1Gbpsのものもあります。しかし、ドライバーをインストールしないと動作しないものも結構あります（現在のmacbook airの状態だとドライバーのインストールなどできないかもと思います）ので、よくわからないなら、避ける方が無難かもしれません。3rd party製品でドライバーなしで使える（macosにドライバーが含まれてる）ものもありますので、そういうのを購入するのなら良いのですけど。

MacBook Airの年式が不明ですが、Intel CPU搭載Macなら、SMCリセットは試しましたか？

MacのSMCをリセットする方法 - Appleサポート

https://support.apple.com/ja-jp/HT201295

普通は、4つのキーを10秒以上押しっぱなしにしてから、再度、電源キーを押すと起動します。

というわけで、SMCリセットが正常にできていないことも考えられるので、ターミナルでリセットしてみては？

ターミナルを起動して、

sudo pmset -a restoredefaults

と入力してEnterキーを叩くと、パスワードの入力を求める鍵マークが出ますので、Macのパスワードを打ち込んでEnetrを叩きます。

これでSMCリセットが出来ます。

SMCがリセット出来ているかどうかは、

pmset -g

で、各項目を確認できます。

製品によっては、USB EthernetアダプタはASIX製ドライバを必要とする製品もあるので、Appleの標準Ethernetドライバで使えるRealtek製のコントローラICを搭載した製品を使用してください。

AppleStoreで扱っているBelkin製やApple製のアダプタを使用するのが無難。

MacBook Airの年式が不明だけど、とりあえずUSB Type-C接続製品の例

Belkin USB-C to Gigabit Ethernet Adapter

まあ、2013年に購入したのなら、Mid2013かMid2012だろうから、はにさんが提示した製品か、下記のThunderbolt接続の製品。

Apple Thunderbolt - ギガビットEthernetアダプタ

※ USB Thernetアダプタは売り切れ状態だけど、こっちなら、Appleに在庫もあるようだし。

＊　一部編集いたしました。 Apple Inc.