子供が親のクレジットカードを勝手に子供の携帯に読み取って、ゲームの課金をして支払っていた

Appleの相談窓口はこちら

お問い合わせ - Apple サポート 公式サイト

お子さんがどのくらいの年齢かにもよりますが、ペアレンタルコントロールやファミリー共有を設定することになるかと思います。その前に、お子さんとしっかり話すことも必要では？

お子様の iPhone、iPad、iPod touch でペアレンタルコントロールを使う - Apple サポート (日本)

ファミリー共有 - Apple（日本）

>Appleの相談窓口を知りたいです。

何を相談したいのかわかりませんが、、返金を希望するなら、

Apple から購入した App やコンテンツの返金手続きをする - Apple サポート (日本)

から手続きしてください。

ただし、法的にはアップルに返金義務はありませんので、応じてもらえるとは限りません。

お子様が勝手に親のカードを使った場合、その責任はお子様が負うべきです。

ただし、お子様が未成年であれば保護者責任となるでしょう。

要するに、お子様が勝手に物を買った場合、親が支払うしか無いということ。大金で支払えないなら、カードのリボ払い機能を使うなど、何とかする必要があります。

アップルが返金に応じてくれればよいですが、そうでなければ、お小遣いの減額など、家庭内で対応してください。

よくある話ですね。

子供が親のクレジットカードを使う - Google 検索

まず相談すべきはAppleではなくクレジット会社だと思いますが...

厳密に言えば家族でも不正利用に当たりますね。