Mac bookair: 初期化後のOSX Marvericksのインストールの方法が分かりますか？

macOS を再インストールする方法 - Apple サポート (日本)

こちらが参考になりますか？

インターネット復元にすれば良いのでは？

起動時option + shift + command + rとしてれば真っ黒の画面になり、回転する地球儀が出てきてインターネット復元になります。このキーコンビネーションだと、そのmacbook airの工場出荷時のmacOSの最新バージョン（10.9.5）になります。注意が必要なのは、最初macOS復旧ユーティリティの画面になり、（すでにmacOS拡張に初期化されてるならディスクユーティリティの初期化は飛ばして）macOSの再インストールにすれば良いのですが、このときによくwifi接続が切れてることがあります。画面右上のwifiアイコン見たらwifi接続がどうなってるのかわかりますので、接続が切れてたら、wifiアイコンをクリックして接続情報を入力して再接続してやる必要があります。

内蔵ディスクはbig surで初期化してるということですが、macOS拡張で初期化してますか？big surだとデフォルトはAPFSでの初期化になりますので、そこも注意が必要です。もし、APFSになってる場合には、mavericksのディスクユーティリティではどうにもできませんので、big surのディスクユーティリティでもう一度初期化をやり直す必要があります。