MacBook Air 13 macOS 10.13 新しいOSにインストール未対応となってしまう

失礼致します。

rui0215 さんの質問投稿の下側に、お使いの環境が「MacBook Air 13″, macOS 10.13」と表示されていますが、間違い有りませんでしょうか？

rui0215 さんがお使いの MacBook Air が、どこまでアップグレード可能かは、MacBook Air のモデル次第 ですので、下記リンクの手順で MacBook Air のモデルを確認 して下さい。

Mac のモデルとシリアル番号を調べる - Apple サポート (日本)

現在、macOS High Sierra（10.13.6）をお使いなのであれば、 MacBook Air（Late 2010）以降である事は確実ですが、rui0215 さんがお使いの MacBook Air のモデルによって、どこまでアップグレード可能かは、以下 の様になります。

● MacBook Air（13-inch, Late 2010）、または MacBook Air（13-inch, Mid 2011）の場合

• 残念ながら、macOS High Sierra（10.13.6）までが限界です。

● MacBook Air（13-inch, Mid 2012）の場合

• macOS Mojave（10.14.6）、または macOS Catalina（10.15.7）にアップグレード可能。

● MacBook Air（13-inch, Mid 2013）、または MacBook Air（13-inch, Early 2014）の場合

• macOS Big Sur（11.6.4）にアップグレード可能。

● MacBook Air（13-inch, Early 2015）以降の場合

• 最新の macOS Monterey（12.2.1）にアップグレード可能。

rui0215 さんがお使いの MacBook Air のモデルが、MacBook Air（13-inch, Mid 2012） 〜 MacBook Air（13-inch, Early 2014）の場合は、「Time Machine」等でバックアップを取った上で、下記リンクの「Mac で Safari を使って macOS をダウンロードする」の項目のリンクから、アップグレード可能な OS のインストーラをダウンロード＆インストールしてアップグレード して下さい。

以前のバージョンの macOS を入手する - Apple サポート (日本)

但し、macOS Catalina（10.15.x）以降にアップグレードした場合は、32 ビットアプリケーションや、「iWork '09（「Numbers（2.3）」、「Pages（4.3）」、「Keynote（5.3）」）」、「iPhoto（9.6.1）」、「iMovie（9.0.9）」、「GarageBand（6.0.5）」、「Adobe CS6」等は使用出来なくなります ので、使用されている場合はご注意下さい。

（macOS Catalina（10.15.x）以降にアップグレードしたくない場合は、macOS Mojave（10.14.6）にアップグレード して下さい）

また、macOS Catalina（10.15.x）以降にアップグレードした場合は、「iTunes」が無くなり、代わりに「ミュージック」、「TV」、「ブック」、「Podcast」の４つの専用アプリケーションで、各メディアを管理し、iPhone、iPad、iPod touch の同期や管理には「Finder」を使用します。

iTunes はどうなったのか？ - Apple サポート

rui0215 さんがお使いの MacBook Air のモデルが、MacBook Air（13-inch, Early 2015）以降の場合は、下記リンクの手順で最新の macOS Monterey（12.2.1）にアップグレード 出来ます。

macOS Monterey にアップグレードする方法 - Apple サポート (日本)

OSのアップグレードを行いたいで合ってますか？

Macの年式でどこまでアップできるかが違うので、お使いの機種の年式を含むモデル名をメニューのこのMacについてで調べて書き込んでください。