新しいアイフォンを購入したので、古いアイフォンを初期化して子どもに使わせたい。

初期化って、設定＞一般＞転送またはiPhoneをリセット＞すべてのコンテンツと設定を消去でやったのですか？

これにすると、最初にパスコード入力が要求され、次にApple IDのパスワードが必要です。これで消去のステップに入りますが（Apple IDからサインアウトしてから消去になりますので、新iPhoneの中身は影響受けません）、やたらicloudのバックアップを作るように誘導されます。すでに新しいiPhoneにコンテンツをすべて写してるならバックアップする必要もないので、最初にすぐキャンセルとすれば良いようですが。初期化が完了すれば、こんにちわ、Helloとか表示されますが、そういう画面になりましたか？

この画面になったら、子供さんの設定を進めていけば良いのですが。