機種変更する前のスマホが画面が映らない場合はどうやって機種変更すればいいのか？

データ移行が出来ないということでしょうか？

旧端末が操作不能なのであれば今からバックアップを作成したりクイックスタートを行ったりが不可能なため、既存のバックアップに賭けるしかないような…

iPhone、iPad、iPod touch をバックアップから復元する - Apple サポート (日本)

サインインしていたAppleIDさえわかっていれば最悪バックアップが無かったとしても多少はiCloudに同期されていたデータもあるかとは思いますので完全に初期状態から再スタート…にはならないかと。

もしもAppleIDを覚えていない＆思い出せないのであれば諦めましょう……

iPhone や iPad を初期設定する - Apple サポート (日本)

Apple ID のメールアドレスや電話番号を忘れた場合 - Apple サポート (日本)

⤵︎ ︎姓名とメールアドレスから検索することもできるようです。

https://iforgot.apple.com/appleid