ダウンロード中にエラーが起きましたという表示が出て iOS 16.5 にアップデートできません

そうですか。

ダウンロード失敗と書かれてますので、ダウンロードした残骸があると思ったのですけど。そういう残骸があると、いくらやり直してもアップデートできません。ないのなら、そのままソフトウェアアップデートとしてもできないのでしょうか？

ストレージに空きは十分（20GB以上？）ありますか？

空きは十分あるにもかかわらず、ソフトウェアアップデートできないなら、パソコンかicloudにバックアップを取ってから、設定＞一般＞転送またはiPhoneをリセット＞すべてのコンテンツと設定を消去にして、初期化した上で、最低限の設定だけ（言語、国・地域、WiFiの設定ぐらいであとはすべてパス）して、設定＞一般＞ソフトウェアアップデートでアップデートしてみては？

アップデートできたら、また初期化してバックアップを戻します。

まず、設定＞一般>iPhoneストレージでアップデートを探し出し、それを削除します。その上で、もう一度ソフトウェアアップデートをやり直してみてください。